Полинормированные пространства и обобщенные функции: Монография

Классический функциональный анализ строится на основе нормированного пространства – векторного пространства, каждому элементу которого сопоставлено число, называемое нормой этого элемента. Основным примером нормированного пространства является пространство С[a, b] всех непрерывных на отрезке [a, b], каждому элементу которого, т.е. каждой непрерывной на отрезке [a, b] функций x(t), сопоставляется число, которое определяется как максимум модуля функции x(t) на отрезке [a, b]. Однако, если рассматривать пространство непрерывных функций, заданных не на отрезке, а на всей числовой оси R, то максимума модуля произвольной непрерывной на R функции x(t) (например, x(t) = t sin t), то максимума модуля функций может не существовать. Это обстоятельство приводить к тому, что в пространстве всех непрерывных на числовой оси функций вместо одной нормы необходимо рассматривать бесконечное множество полунорм,, где полунорма с номером n определяется как максимум модуля функции x(t) на отрезке [– n, n]..Совокупность всех определяющих полунорм на пространстве Х названа полинормой, а само пространство, на котором определена полинорма, называется полинормированным пространством.